그래프 인접 행렬 정규화 행

그래픽 표현은 기계 학습 (ML) 및 데이터 과학 연구에서 점점 인기를 얻고 있습니다. GCN [1], GAT [2]와 같은 기하학적 학습 및 / 또는 GNN (Graphical Neural Networks) 기술에 대한 최근 문헌을 훑어 보는 것은 신선한 눈에 당황 할 수 있습니다. 따라서 일련의 간결한 게시물에서 전체 개념을 파악하는 데 장기적으로 도움이 될 수있는 원자 / 기초 개념을 설명하겠습니다.

' 그래프 라플라시안 (Graph Laplacians) '및 후속 계산과 같은 주제를 살펴보기 전에 매우 간단한 원자 개념 인 그래프의 인접 행렬을 정규화하는 행 부터 시작하겠습니다 .

요약하자면 n정점이 있는 그래프 의 경우 n * n 인접 행렬 A 의 항목은 다음 과 같이 정의됩니다.

예를 들면 :

실제 (대형) 그래프의 인접 행렬은 희소 행렬을 사용하여 표현됩니다. COO (좌표) 또는 CSR (압축 된 희소 행)은 이러한 표현에 대한 가장 일반적인 형식입니다.

coefficients위 다이어그램 의 변수는 Gu_matched10 개의 정점 (또는 노드)과 8 개의 간선이 있는 그래프 를 나타냅니다 . 튜플은 (row, col, weight) 형식입니다. 가장자리 e_ij는 가중치 i를 사용하여 행의 노드 j를 col의 다른 노드 에 연결합니다 1.

마찬가지로 노드가 5 개인 coefficients더 간단한 그래프의 var Gs는 다음과 같을 수 있습니다.[(0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4), (1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

COO 형식 :

고밀도 매트릭스 형식 :

그러나 '행 정규화'는 무엇을 의미 합니까? 기본적으로 위의 조밀 한 행렬 A의 경우 모든 값을 행 단위로 더하면 5 by 1벡터 를 얻을 수 [4, 1, 1, 1, 1]있습니다. 행 정규화는 단순히이 벡터를 정규화하는 것을 의미하므로 모든 행의 합이 1[1, 1, 1, 1, 1]이됩니다 ( softmax(A)함수 를 생각 했다면 kudos). 이 트릭에는 다양한 ML 및 그래픽 계산 (예 : 그래프 라플라시안)을 위한 다운 스트림 애플리케이션이 있습니다. 우리는 그것을 단순하고 원자 적으로 유지할 것이므로 다른 블로그를위한 것입니다.

다음 코드 조각은 인접 행렬을 행 정규화하기위한 코드를 보여줍니다.

r_mat_inv 다음과 같이 보입니다.

결과적으로 정규화 된 행렬은 다음과 같습니다.

보시다시피 모든 행 1은 원하는대로 합산됩니다 .

참고

  1. Kipf, Thomas N. 및 Max Welling. "그래프 컨볼 루션 네트워크를 사용한 반 감독 분류" arXiv 사전 인쇄 arXiv : 1609.02907 (2016).
  2. Veličković, Petar, et al. "주의 네트워크 그래프" arXiv 사전 인쇄 arXiv : 1710.10903 (2017).

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